Matemática discreta Ejemplos

${(\sqrt{5})}^{x + 1} = 25^{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

${(5^{\frac{1}{2}})}^{x + 1} = 25^{x}$

Paso 2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{1}{2} (x + 1)} = 25^{x}$

Paso 3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{\frac{1}{2} (x + 1)} = 5^{2 x}$

Paso 4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$\frac{1}{2} (x + 1) = 2 x$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 1) = 2 x$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{1}{2} \cdot (x + 1) = 2 x$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 x$

Paso 5.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 x$

Paso 5.1.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2 x$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} - 2 x = 0$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Paso 5.2.3

Combina $- 2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Paso 5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 x \cdot 2 + 1}{2} = 0$

Paso 5.2.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x - 4 x + 1}{2} = 0$

Paso 5.2.7

Resta $4 x$ de $x$ .

$\frac{- 3 x + 1}{2} = 0$

Paso 5.2.8

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 1}{2} = 0$

Paso 5.2.9

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 1)}{2} = 0$

Paso 5.2.10

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 x - 1)}{2} = 0$

Paso 5.2.11

Reescribe $- (3 x - 1)$ como $- 1 (3 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 1)}{2} = 0$

Paso 5.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 1}{2} = 0$

Paso 5.3

Establece el numerador igual a cero.

$3 x - 1 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{3}$